DIFUSI

Difusi adalah sebuah proses di mana suatu zat bergerak dari konsentrasi tinggi ke rendah

MODUL 2 : ADVEKSI-DIFUSI 2D

Proses penyebaran polutan terjadi melalui dua proses utama yaitu difusi dan adveksi, dan dapat dianggap dua mekanisme yang terpisah. Adveksi adalah proses perpindahan panas sebagai akibat dari adanya aliran. Difusi adaalah proses perpindahan panas berupa rambatan dari air dengan temperatur tinggi ke air dengan temperatur yang lebih rendah.

Dasar dalam membangun model 2D untuk transpor adveksi adalah persamaan matematis sebagai berikut.

Sedangkan dalam membangun model 2D untuk transpor dengan mekanisme difusi, dibangun dari persamaan matematis sebagai berikut.

Persamaan adveksi dan difusi di atas merupakan persamaan umum yang menggambarkan proses adveksi serta difusi yang terjadi pada suatu materi sehingga untuk membentuk suatu persamaan model 2D yang mendekati proses kejadian di alam maka perlu adanya diskritisasi terhadap persamaan tersebut.

Diskritisasi

Diskritisasi merupakan suatu metode untuk mencari solusi persamaan secara numerik dari suatu persamaan matematika sehingga dapat dinyatakan baik dalam dimensi ruang ataupun waktu. Proses diksritisasi model 2D pada suku adveksi umumnya menggunakan metode eksplisit upstream. Metode yang sama juga berlaku untuk deskritisasi suku difusi. Metode eksplisit upstream merupakan metode dimana persamaan beda hingga menggunakan pendekatan beda maju untuk turunan waktu, sedangkan untuk turunan terhadap ruang dilakukan dengan melihat arah kecepatan u. Jika u > 0 maka turunan terhadap ruang menggunakan pendekatan beda mundur, sebaliknya jika u < 0 digunakan pendekatan beda maju.

Persamaan dari metode diskritisasi untuk suku adveksi 2D adalah sebagai berikut.

Model 2D untuk mekanisme transpor difusi dapat menggunakan pendekatan beda maju untuk turunan waktu dan beda pusat untuk turunan ruang. Indeks n untuk waktu, indeks i untuk ruang, dan koefisiesn difusi AD dianggap konstan terhadap ruang dan waktu.

Persamaan diskritisasi untuk model 2D difusi adalah sebagai berikut.

Persamaan diskritisasi adveksi dan difusi di atas jika digabungkan menjadi persamaan berikut.

Penentuan Nilai Batas dan Syarat Batas

Syarat batas merupakan suatu kondisi yang menggambarkan kondisi di batas baik ruang maupun waktu dari model yang dibangun.

Syarat batas dari metode eksplisit upstream diberikan pada nilai awal (hulu) dan nilai akhir (hilir).

Kriteria Kestabilan

Suatu metode untuk menentukan seberapa besar nilai stabilitas dari model yang dibangun.

Kriteria kestabilan yang digunakan untuk menyelesaikan pemodelan 2D adveksi difusi ini adalah sebagai berikut.

Pengaplikasian Adveksi-Difusi 2D dalam Bidang Oseanografi:

1. Pemodelan adveksi difusi umumnya digunakan dalam pemodelan suatu cemaran pada suatu perairan, seperti tumpahan minyak pada area perairan maupun limbah panas dari suatu pembangkit listrik pada area sekitar perairan.

2. Pemodelan distribusi sedimen yang terjadi pada suatu perairan yang biasa dilakukan oleh para surveyor.

Script Python untuk Pemodelan

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sys

def percentage(part, whole):
    percentage = 100 * float(part)/float(whole)
    return str(round(percentage,2)) + "x"

#Masukan Parameter Awal
C = 1.90
ad = 1.90

#arah arus
theta = 90
#theta = 150
#theta = 225
#theta = 405

#paramter lanjutan
q = 0.95 #kriteria kestabilan
x = 500 #jumlah grid horizontal
y = 500 #jumlah grid vertikal
dx = 5
dy = 5

#lama simulasi
Tend = 109
dt = 0.5

#Polutan
px = 250 #polutan pada grid x
py = 239 #polutan pada grid y
Ic = 1090 #jumah polutan

#Perhitungan U dan V
u = C * np.sin(theta*np.pi/180)
v = C * np.cos(theta*np.pi/180)
dt_count = 1/((abs(u)/(q*dx))+(abs(v)/(q*dy))+(2*ad/(q*dx**2))+(2*ad/(q*dy*2)))

Nx = int(x/dx)  #number of mesh in x direction
Ny = int(y/dy)  #number of mesh in y direction
Nt = int(Tend/dt) #number of timestep

#perhitungan titik polutan di buang
px1 = int(px/dx)
py1 = int(py/dy)

#fungsi disederhanakan
lx = u*dt/dx
ly = v*dt/dy
ax = ad*dt/dx**2
ay = ad*dt/dy**2
cfl = (2*ax + 2*ay + abs(lx) + abs(ly))  #syarat kestabilan CFL

#perhitungan cfl
if cfl >= q:
    print('CFL Violated, please use dt :'+str(round(dt_count,4)))
    sys.exit ()

#pembuatan grid 
x_grid = np.linspace(0-dx, x+dx, Nx+2) #ghostnode boundary
y_grid = np.linspace(0-dx, y+dy, Ny+2) #ghostnode boundary
t = np.linspace(0, Tend, Nt+1)
x_mesh, y_mesh = np.meshgrid(x_grid,y_grid)
F = np.zeros((Nt+1, Ny+2, Nx+2))

#kondisi awal
F[0,py1,px1]=Ic

#Iterasi
for n in range (0, Nt):
    for i in range (1,Ny+1):
           for j in range (1, Nx+1):
            F[n+1,i,j]=((F[n,i,j]*(1-abs(lx)-abs(ly))) + \
                   (0.5*(F[n,i-1,j]*(ly+abs(ly)))) + \
                   (0.5*(F[n,i+1,j]*(abs(ly)-ly))) + \
                   (0.5*(F[n,i,j-1]*(lx+abs(lx)))) + \
                   (0.5*(F[n,i,j+1]*(abs(lx)-lx))) + \
                   (ay*(F[n,i+1,j]-2*(F[n,i,j])+F[n,i-1,j])) +\
                   (ax*(F[n,i,j+1]-2*(F[n,i,j])+F[n,i,j-1])))
    #syarat batas (boundary condition)
    F[n+1,0,:] = 0 #bc bawah
    F[n+1,:,0] = 0 #bc kiri
    F[n+1,Ny+1,:] = 0 #bc atas
    F[n+1,:,Nx+1] = 0 #bc kanan

#Output Gambar
plt.clf()
plt.pcolor(x_mesh, y_mesh, F[n+1, :, :], cmap = 'jet',shading='auto',edgecolor='k')
cbar=plt.colorbar(orientation='vertical',shrink=0.95,extend='both')
cbar.set_label(label='Concentration',size = 8)
#plt.clim(0,100)
plt.title('NAMA_NIM \n t='+str(round(dt*(n+1),3))+ ', Initial condition='+str(Ic),fontsize=10)
plt.xlabel('x_grid',fontsize=9)
plt.ylabel('y_grid',fontsize=9)
plt.axis([0, x, 0, y])
#plt.pause(0.01)
plt.savefig(str(n+1)+'.jpg', dpi=300)
plt.pause(0.01)
plt.close()
print('running timestep ke:' +str(n+1) + ' dari:' +str(Nt) + '('+ percentage(n+1,Nt)+')')
print('Nilai CFL:' +str(cfl) + ' dengan arah: ' +str(theta))

Output Hasil Pemodelan Adveksi-Disufi 2D

C = 1.90 Ad = 1.90 theta = 90

C = 1.90 Ad = 1.90 theta = 150

C = 1.90 Ad = 1.90 theta = 225

C = 1.90 Ad = 1.90 theta = 405

Dari hasil pemodelan dapat diketahui bahwa seiring dengan waktu berjalan, polutan akan bergerak mengikuti arus, yang sekaligus berdifusi, dan mengalami pengurangan nilai konsentrasi. Arah polutan ini dipengaruhi oleh vektor kecepatan u dan v. Polutan mengalami difusi juga adveksi, mengalami difusi dapat dilihat dari polutan yang seiring dengan bertambahnya waktu, polutan semakin menyebar dan konsentrasi semakin berkurang. Sementara dapat dikatakan mengalami adveksi karena polutan mengalami pergerakan atau perpindahan tempat.

C = 1 Ad = 0 theta = 90

Jika C=1 dan ad = 0, polutan mengalami pergerakan sesuai dengan arah theta, karena kecepatan polutan tidak sama dengan nol, atau memiliki kecepatan. Meskipun mengalami pergerakan, tetapi persebarannya tidak kesegala arah peresebarannya hanya secara horizontal saja (mengikuti pergerakan polutan), hal ini karena koefisien difusi