Curso de Procesos Estocásticos

Bienvenido al repositorio material de clase para la asignatura de Procesos Estocásticos de Matemáticas Aplicadas y Computación (FES Acatlán, UNAM).

Este repositorio contiene los apuntes teóricos, demostraciones analíticas y laboratorios computacionales (en Python) diseñados para guiar desde los fundamentos de la probabilidad discreta hasta el cálculo estocástico continuo y los métodos de simulación avanzados (MCMC).

Creador : Christian Gabriel Villafuerte Aguilar

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Ruta de Aprendizaje

El material está diseñado para consumirse en el siguiente orden secuencial. Cada módulo está estructurado incluye teoría, código fuente y problemarios resueltos.

Parte I: Fundamentos y Procesos Discretos

1. Bases Analíticas: Probabilidad condicional, Ley de la Esperanza Total y Ecuaciones en Diferencias Lineales.
2. Caminata Aleatoria Simple (1D): Construcción formal, momentos estocásticos y distribución exacta.
3. La Ruina del Jugador: Tiempos de parada, probabilidades de absorción y duración esperada del juego.
4. Geometría de Trayectorias: El Principio de Reflexión de Désiré André, el Teorema del Voto y la distribución del máximo histórico.

Parte II: Teoría General de Cadenas de Markov

5. Cadenas de Markov en Tiempo Discreto: La Propiedad de Markov, matrices de transición y Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov.
6. Clasificación y Estacionariedad: Accesibilidad, recurrencia/transitoriedad y el cálculo analítico de la Distribución Estacionaria.
7. Cadenas Absorbentes: Forma canónica y la Matriz Fundamental para el cálculo de tiempos de absorción.

Parte III: Tiempo Continuo y Colas

8. Procesos en Tiempo Continuo: La distribución Exponencial (pérdida de memoria) y el Proceso de Poisson.
9. Cadenas de Markov en Tiempo Continuo (CTMC): Generadores infinitesimales, ecuaciones de Kolmogorov y procesos de Nacimiento y Muerte.
10. Teoría de Colas: Modelos markovianos (M/M/1, M/M/c), la Ley de Little y análisis de rendimiento de servidores.

Parte IV: Cálculo Estocástico y MCMC

11. Cálculo Estocástico: La variación cuadrática, la Integral de Itô y el Lema de Itô (la regla de la cadena estocástica).
12. El Teorema de Donsker: El principio de invariancia y la convergencia de caminatas aleatorias al Movimiento Browniano.
13. Ecuaciones Diferenciales Estocásticas (SDEs): Modelos de Ornstein-Uhlenbeck, Movimiento Browniano Geométrico y el método numérico de Euler-Maruyama.
14. Markov Chain Monte Carlo (MCMC): El algoritmo de Metropolis-Hastings, balance detallado y muestreo de distribuciones complejas.